Prévision des flux de trésorerie d’un projet de construction

Vue d’ensemble du processus

Pour prévoir avec précision les flux de trésorerie d’un projet de construction, suivez ces étapes :

Diviser le projet en activités : Décomposer les travaux en parties spécifiques et gérables.
Définir les dates de début et de fin : Préciser quand chaque activité commence et se termine.
Estimer les coûts : Affecter un coût à chaque activité.
Répartir les coûts des activités dans le temps : Étaler les coûts sur la durée de l’activité.
Additionner verticalement les coûts par unité de temps : Additionner tous les coûts des activités à chaque instant pour obtenir le flux de trésorerie du projet.

Le problème de la répartition linéaire

Lorsque le flux de trésorerie est réparti de manière uniforme (linéaire), cela ne reflète pas la réalité, car les activités progressent rarement en ligne droite. Les travaux réels suivent généralement des courbes de distribution asymétriques , influencées par plusieurs variables :

Pourcentage de sous-traitance
Acomptes et leur récupération
Retenues de garantie et leur libération
Périodes de garantie des défauts
Facturation supérieure aux travaux exécutés
Retards de paiement

En outre, les activités de travail progressent rarement de manière uniforme. Elles suivent plutôt des courbes en S (courbes cumulées de flux de trésorerie), qui simulent mieux la nature de l’avancement des travaux.

Utilisation de modèles mathématiques pour des prévisions précises

1. Modèle polynomiale

Le modèle polynomial (Formule 1) est de nature cubique :

$f (x) = - \frac{2 h}{w^{3}} \cdot x^{3} + \frac{3 h}{w^{2}} \cdot x^{2}$

Analyse :

Objectif : Modéliser l’avancement des travaux de manière fluide dans le temps.
Composants :
- $h$ : Valeur totale des travaux ou du flux de trésorerie.
- $w$ : Durée totale du projet.
- $x$ : Variable temporelle (de 0 à $w$ ).
Comportement :
- À $x = 0$ , $f(x) = 0$ (début du projet).
- À $x = w$ , $f(x) = h$ (achèvement du projet).
Forme : La courbe commence lentement, augmente rapidement au milieu, puis s’aplatit à l’approche de la fin du projet. Ce comportement symétrique reflète l’avancement typique d’un chantier.

Limites :

Ne tient pas naturellement compte d’un avancement précoce ou tardif sans asymétrie.

2. Modèle exponentiel (courbe asymétrique)

Le modèle exponentiel (Formule 2) introduit un facteur d’asymétrie $c$ :

$f(x) = \frac{1}{(c+1) + e^{-\left(\frac{x}{0.1 \cdot w} + c^2 - 5\right)}} h (c+1)$

Analyse :

Objectif : Représenter un avancement asymétrique pour une fin de tâche précoce ou tardive.
Composants :
- $c$ Facteur d’asymétrie. Un $c$ positif retarde l’avancement ; un $c$ négatif l’accélère.
- $h$ : Travaux totaux ou flux de trésorerie.
- $w$ : Durée du projet.
Comportement :
- Le terme exponentiel $e^{-k}$ diminue avec le temps, ce qui amène $f(x)$ à tendre asymptotiquement vers $h$ .
- Le facteur d’asymétrie $c$ décale la courbe vers la gauche (avancement précoce) ou vers la droite (avancement retardé).

Comparaison entre répartition linéaire et modèles mathématiques

1. Répartition linéaire

Description : Les travaux progressent à un rythme constant pendant toute la durée de l’activité.
Avantages : Simple à calculer et à comprendre.
Inconvénients : Inexacte, car les travaux de construction accélèrent et ralentissent généralement avec le temps.

2. Modèles mathématiques

Modèles polynomiaux : Fournissent des courbes lisses et réalistes, mais symétriques (ils ne peuvent pas tenir compte d’un avancement asymétrique).
Modèles exponentiels : Plus flexibles, car ils intègrent des facteurs d’asymétrie pour simuler un avancement précoce ou tardif.

Avantages de l’asymétrie des courbes

Reflète la réalité : Les courbes asymétriques tiennent compte du comportement propre à chaque activité, comme un démarrage lent (par exemple la mobilisation) ou une fin accélérée.
Meilleure précision : Aligne mieux le flux de trésorerie sur l’avancement réel des travaux.
Planification des ressources : Aide les coordinateurs financiers à anticiper plus précisément les besoins de trésorerie.
Réduction des risques : Limite les mauvaises surprises liées aux pénuries de trésorerie ou aux retards causés par des prévisions inexactes.

Analyse de la formule 1 :

$f(x) = -\frac{2h}{w^3} \cdot x^3 + \frac{3h}{w^2} \cdot x^2$

Analyse :

Objectif :
- Ce polynôme prédit le flux de trésorerie ou les travaux exécutés dans le temps.
- Il est de nature cubique et quadratique, offrant une courbe lisse pour modéliser la montée progressive puis le palier final des travaux ou du flux de trésorerie.
Composants :
- $h$ : La valeur totale du flux de trésorerie ou des travaux à réaliser.
- $w$ : La durée du projet ou le facteur d’échelle.
- $x$ : Variable temporelle (allant de 0 à $w$ ).
Comportement :
- À $x = 0$ (début du projet) :
  $f(0) = 0$ → Les travaux commencent à zéro.
- À $x = w$ (fin du projet) :
  En remplaçant $x = w$ dans la formule : $f(w) = -\frac{2h}{w^3} \cdot w^3 + \frac{3h}{w^2} \cdot w^2 = -2h + 3h = h$
- Ainsi, à la fin du projet, le travail total exécuté ou le flux de trésorerie total est de $h$ .
Forme :
- Le terme cubique $-\frac{2h}{w^3} \cdot x^3$ domine au départ et entraîne la courbe vers le haut.
- Le terme quadratique $\frac{3h}{w^2} \cdot x^2$ garantit que la courbe ralentit à l’approche de $h$ .
Cette combinaison donne à la courbe une forme concave vers le bas , où :
- La courbe commence à zéro,
- Augmente régulièrement,
- Ralentit et tend asymptotiquement vers $h$ à $x = w$ .
Comparaison avec d’autres modèles :
- Contrairement aux modèles exponentiels, cette courbe est symétrique et déterministe, sans asymétrie.
- Elle ne peut pas modéliser naturellement une progression précoce ou tardive sans paramètre d’asymétrie supplémentaire (comme $c$ que nous introduisons plus loin).

Analyse de la formule 2 :

$f (x) = \frac{1}{(c + 1) + e^{- (\frac{x}{0.1 \cdot w} + c^{2} - 5)}} h (c + 1)$

d’après la structure de la formule et sa ressemblance avec des courbes sigmoïdes ou logistiques souvent utilisées en gestion de projet, le paramètre $c$ agit probablement comme facteur d’ asymétrie ou de décalage de la courbe. Voici pourquoi :

Le terme exponentiel $e^{-\left( \frac{x}{0.1 \cdot w} + c^2 - 5 \right)}$ :
- La partie $\frac{x}{0.1 \cdot w}$ contrôle le taux de croissance ou de décroissance de la courbe dans le temps, ce qui signifie que $w$ ajuste l’échelle temporelle.
- Le terme $c^2 - 5$ introduit un décalage de la courbe. Cela influence directement l’endroit où la courbe « commence » ou se « centre », rendant $c$ responsable de l’asymétrie de la courbe vers la gauche ou la droite le long de l’axe $x$ .
$h(c+1)$ :
- $h$ est la valeur totale du flux de trésorerie, qui met l’ensemble de la courbe à l’échelle pour correspondre à la valeur totale des travaux exécutés ou du flux de trésorerie.
- Le facteur $(c+1)$ ajuste l’échelle de la courbe en fonction de $c$ , ce qui indique également que $c$ joue un rôle dans la déformation ou l’asymétrie de l’avancement.
Comportement de la courbe :
- Le dénominateur, $(c+1) + e^{-\left( ... \right)}$ , implique qu’à mesure que le temps ( $x$ ) progresse, le terme exponentiel diminue (car $e^{-k} \to 0$ pour de grandes valeurs de $k$ ). Cela conduit la fonction $f(x)$ à tendre asymptotiquement vers $h(c+1)$ , représentant la valeur totale du flux de trésorerie.
Sens intuitif :
- $c$ modifie la vitesse à laquelle les travaux totaux (ou le flux de trésorerie) s’accumulent dans le temps. Des valeurs positives ou négatives de $c$ déforment la courbe vers la droite ou vers la gauche, ce qui en fait un paramètre de contrôle des tendances d’achèvement précoce ou tardif.