Prédiction du Flux de Trésorerie d'un Projet de Construction

Aperçu du Processus

Pour prédire avec précision le flux de trésorerie d'un projet de construction, suivez ces étapes :

1. Diviser le projet en activités : Décomposez le travail en parties spécifiques et gérables.
2. Spécifier les dates de début et de fin : Définissez quand chaque activité commence et se termine.
3. Estimer les coûts : Assignez un coût à chaque activité.
4. Répartir les coûts des activités dans le temps : Répartissez les coûts sur la durée de l'activité.
5. Additionner les coûts verticalement par unité de temps : Additionnez tous les coûts des activités à chaque point de temps pour obtenir le flux de trésorerie du projet.

Le Problème de la Distribution Linéaire

Lorsque le flux de trésorerie est réparti uniformément (linéairement), il ne reflète pas la réalité car les activités progressent rarement en ligne droite. Le travail réel suit généralement des courbes de distribution asymétriques , influencées par plusieurs variables :

1. Pourcentage de sous-traitance
2. Avances et leur récupération
3. Paiements de retenue et leur libération
4. Périodes de responsabilité pour les défauts
5. Facturation excédant le travail effectué
6. Retards de paiement

De plus, les activités de travail progressent rarement de manière uniforme. Au lieu de cela, elles s'alignent sur des courbes en S (courbes de flux de trésorerie cumulatif), qui simulent mieux la nature de la progression du travail.

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Utilisation de Modèles Mathématiques pour des Prédictions Précises

1. Modèle Polynômial

Le modèle polynômial (Formule 1) est de nature cubique :

$$f(x)=-\frac{2h}{w^3}\cdot x^3+\frac{3h}{w^2}\cdot x^2$$

Analyse :

• Objectif : Modélise la progression du travail de manière fluide dans le temps.
• Composants :
  • $h$ : Valeur totale du travail ou flux de trésorerie.
  • $w$ : Durée totale du projet.
  • $x$ : Variable de temps (de 0 à $w$ ).
• Comportement :
  • À $x = 0$ , $f(x) = 0$ (début du projet).
  • À $x = w$ , $f(x) = h$ (achèvement du projet).
• Forme : La courbe commence lentement, monte rapidement au milieu, et s'aplatit à la fin du projet. Ce comportement symétrique reflète la progression typique de la construction.

Limitations :

• Ne tient pas naturellement compte de la progression précoce ou tardive du travail sans biais.

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2. Modèle Exponentiel (Courbe Asymétrique)

Le modèle exponentiel (Formule 2) introduit un facteur de biais $c$ :

$$f(x) = \\frac{1}{(c+1) + e^{-\\left(\\frac{x}{0.1 \\cdot w} + c^2 - 5\\right)}} h (c+1)$$

Analyse :

• But : Capture les progrès biaisés pour l'achèvement précoce ou tardif des activités.
• Composants :
  • $c$ Facteur de biais. Positif $c$ retarde le progrès ; négatif $c$ l'accélère.
  • $h$ : Travail total ou flux de trésorerie.
  • $w$ Durée du projet.
• Comportement :
  • Le terme exponentiel $e^{-k}$ diminue avec le temps, provoquant $f(x)$ à s'approcher asymptotiquement de $h$ .
  • Le facteur de biais $c$ déplace la courbe vers la gauche (progrès précoce) ou vers la droite (progrès retardé).

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Comparaison des modèles linéaires vs. mathématiques

1. Distribution linéaire

• Description : Le travail progresse à un rythme régulier sur la durée de l'activité.
• Avantages : Simple à calculer et à comprendre.
• Inconvénients : Inexact car le travail dans les projets de construction accélère et décélère généralement au fil du temps.

2. Modèles mathématiques

• Modèles polynomiaux : Fournissent des courbes lisses et réalistes mais sont symétriques (ne peuvent pas tenir compte des progrès biaisés).
• Modèles exponentiels : Plus flexibles car ils incluent des facteurs de biais pour simuler des progrès précoces ou tardifs.

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Avantages des courbes biaisées

1. Refléter la réalité : Les courbes biaisées tiennent compte du comportement spécifique à l'activité, comme les démarrages lents (par exemple, mobilisation) ou les fins accélérées.
2. Amélioration de la précision : S'aligne mieux sur le flux de trésorerie avec le progrès réel du travail.
3. Planification des ressources : Aide les coordinateurs financiers à anticiper les besoins en trésorerie plus précisément.
4. Atténue le risque : Réduit les surprises en cas de pénuries de trésorerie ou de retards causés par des prévisions inexactes.

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Analyse de la formule 1 :

$$f(x) = -\\frac{2h}{w^3} \\cdot x^3 + \\frac{3h}{w^2} \\cdot x^2$$

Analyse :

1. But :

   • Ce polynôme prédit le flux de trésorerie ou le travail effectué au fil du temps.
   • Il est de nature cubique et quadratique, fournissant une courbe lisse pour modéliser la montée progressive et le nivellement éventuel du travail ou du flux de trésorerie.

2. Composants :

   • $h$ : La valeur totale du flux de trésorerie ou du travail à réaliser.
   • $w$ : La durée du projet ou le facteur d'échelle.
   • $x$ : Variable temporelle (allant de 0 à $w$ ).

3. Comportement :

   • À $x = 0$ (début du projet) :
     $f(0) = 0$ → Le travail commence à zéro.
   • À $x = w$ (fin du projet) :
     En substituant $x = w$ dans la formule : $$f(w) = -\\frac{2h}{w^3} \\cdot w^3 + \\frac{3h}{w^2} \\cdot w^2 = -2h + 3h = h$$
   • $$$$
     Ainsi, à la fin du projet, le travail total effectué ou le flux de trésorerie est $h$ .

4. Forme :

   • Le terme cubique $-\\frac{2h}{w^3} \\cdot x^3$ domine initialement et pousse la courbe vers le haut.
   • Le terme quadratique $\\frac{3h}{w^2} \\cdot x^2$ assure que la courbe décélère à mesure qu'elle approche $h$ .

   Cette combinaison donne à la courbe une forme concave vers le bas , où :

   • La courbe commence à zéro,
   • Monte régulièrement,
   • Ralentit et approche $h$ asymptotiquement à $x = w$ .

5. Comparaison avec d'autres modèles :

   • Contrairement aux modèles exponentiels, cette courbe est symétrique et déterministe, sans déformation.
   • Elle ne peut pas modéliser une progression précoce ou tardive naturellement sans un paramètre de déformation supplémentaire (comme $c$ que nous introduisons plus tard).

Analyse de la formule 2 :

$$\mathrm{<br>}$$

$$f(x)=\frac{1}{(c+1)+e^{-(\frac{x}{0.1\cdot w}+c^2-5)}}h(c+1)$$

basé sur la structure de la formule et sa ressemblance avec les courbes sigmoïdes ou logistiques souvent utilisées dans la gestion de projet, le paramètre $c$ agit probablement comme le facteur de biais ou de décalage de la courbe. Voici pourquoi :

1. Le terme exponentiel $e^{-\\left( \\frac{x}{0.1 \\cdot w} + c^2 - 5 \\right)}$ :

   • La partie $\\frac{x}{0.1 \\cdot w}$ contrôle le taux de croissance ou de décroissance de la courbe au fil du temps, ce qui signifie que $w$ ajuste l'échelle temporelle.
   • Le terme $c^2 - 5$ introduit un décalage dans la courbe. Cela influence directement où la courbe « commence » ou « se centre », rendant $c$ responsable de l'inclinaison de la courbe vers la gauche ou la droite le long de l'axe $x$ .

2. Terme $h(c+1)$ :

   • $h$ est la valeur totale du flux de trésorerie, ajustant l'ensemble de la courbe pour correspondre à la valeur totale du travail effectué ou du flux de trésorerie.
   • Le facteur $(c+1)$ ajuste l'échelle de la courbe en fonction de $c$ , ce qui indique en outre que $c$ joue un rôle dans la distorsion ou l'inclinaison de la progression.

3. Comportement de la courbe :

   • Le dénominateur, $(c+1) + e^{-\\left( ... \\right)}$ , implique qu'à mesure que le temps ( $x$ ) progresse, le terme exponentiel diminue (car $e^{-k} \\to 0$ pour de grands $k$ ). Cela pousse la fonction $f(x)$ asymptotiquement vers $h(c+1)$ , représentant la valeur totale du flux de trésorerie.

4. Signification intuitive :

   • $c$ déplace la rapidité ou la lenteur avec laquelle le travail total (ou le flux de trésorerie) s'accumule au fil du temps. Les valeurs positives ou négatives de $c$ inclineront la courbe vers la droite ou la gauche, en faisant un contrôle pour les tendances d'achèvement précoce ou tardif.

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Références :

1. article cashflowpot
2. Comment créer un flux de trésorerie de projet pour les entrepreneurs par quollnet

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